"Умножение матриц так же неисчепаемо, как и атом"

[dmm]

Take this:



And multiply its transposition by it, the result is:

Comments

[juan_gandhi]

Логично, что симметричная.

[dmm]

Угу. Если взять A*B, и заменить на transpose(B)*transpose(A), то произведение транспонируется.

Теперь, если взять A=transpose(B), то, заменяя transpose(B)*B на transpose(B)*transpose(transpose(B)), получаем опять transpose(B)*B, и, тем самым, transpose(B)*B инвариантно относительно транспонирования.

[juan_gandhi]

Со второго курса эту фигню помню. Да и явление общее, не только с матрицами, а вообще взять кольцо с инволюцией, ну и.

[dmm]

А я вот не помнил (у меня память дырявая, да и вообще я, в отличие от вас, ленивый), но в процессе этих экспериментов оно само неоднократно эмпирически переоткрылось, например клетки 43-44 здесь:

https://nbviewer.jupyter.org/github/anhinga/julia-notebooks/blob/main/grimoire-team/variations/variation-4.ipynb

Так что, пришлось вспомнить :-)

[dmm]

Но с матрицами это верно не только для квадратных матриц, но и для прямоугольных.

Собственно, для прямоугольных матриц KxM и MxN, если переставляешь порядок множителей, то становишься обязан транспонировать, иначе общая размерность в неправильном месте, и операция вообще не определена.

Настолько я даже не доверял этим добрым людям (а вдруг они умножение матриц определили через "обобщённую свёртку", как свёртка в этом примере, который показал vak, и что-нибудь сделают "на своё усмотрение"), что я даже тут в конце проверил, что оно ломается, если размерности не соответствуют (с облегчением убедился, что у них нормально сделано, вылетает с ошибкой):

https://nbviewer.jupyter.org/github/anhinga/julia-notebooks/blob/main/images-as-matrices/scale-invariance.ipynb