(Open Access) Topoi: The Categorial Analysis of Logic, by Robert Goldblatt

[dmm]

projecteuclid.org/ebooks/books-by-independent-authors/Topoi-The-Categorial-Analysis-of-Logic/toc/bia/1403013939

Chapter-wise PDFs

Comments

[dmm]

I decided it's time for me to revisit toposes and sheaves

[juan_gandhi]

Я всю жизнь считал эту книжку неправильной.

[dmm]

Она не обладает "идейной чистотой".

Но у меня нет выхода - книжки, обладающие "идейной категорной чистотой", я просто не понимаю.

(Впрочем, "Категории для работающих математиков" МакЛейна тоже, как мне кажется, не обладают "идейной категорной чистотой", в том же примерно смысле. Так что, может, отсутствие идейной чистоты и к лучшему.)

У меня, в общем, "приземлённая цель" - я хочу чуть лучше понимать пучки, прежде всего самые обычные пучки над топологией, поскольку я хочу продолжить то, что я делал с пучками в моих старых текстах, и уже от этой "приземлённой позиции", может быть, чуть-чуть обобщать...

С одной стороны, я тут посмотрел на разнообразные случаи, где пучки крайне полезны, не то, что даже они сильно новые для меня, но не было случая собрать их вместе. С другой стороны - я там не вполне доделал всякое, когда я смотрел на разные двойственности, в контексте пучков. Вот, я пытаюсь чуть-чуть к этому вернуться, и мне показалось, что, быть может, полезно знать топосный взгляд тоже, а не только теоретико-множественный (которого мне, до сих пор, вполне хватало, но я стал подозревать, что, возможно, это меня ограничивает)...

[juan_gandhi]

Маклейн, конечно, да - но он это в начале хорошо объясняет; ну и вообще, т.к. это хрестоматия с детства...

Насчет же пучков, тут дело такое, что, мне кажется, проще всего они воспринимаются в элементарных топосах, и в этом смысле Джонстон, особенно пятая глава - самое то. Ну и плюс если запрограммировать. Я пока программировал, многое из этого дела освоил. Сейчас, как я понимаю, есть версии и на агде.

[dmm]

Моя личная история состоит в том, что я познакомился с "Гейтинго-значными множествами", т.е. с нечёткими равенствами, принимающими значения в алгебрах Гейтинга, когда обнаружилось, что эти нечёткие равенства, это, фактически, "перевёрнутые" partial ultrametrics. Тут стало понятно, что это имеет ко мне прямое отношение, и надо бы разобраться. И я, конечно, знакомился по 100-страничному тексту Скотта и Фурмана "Sheaves and Logic", который не особо категорный, и уж точно не топосный.

А потом я добрался до знаменитого неопубликованного текста Хиггса, который тоже совсем не топосный, хотя в нём есть место, где эта конструкция нечёткого равенства обобщена аж до случая пучков над топологией Гротендика (т.е. до общности топосов Гротендика). Я эти три странички из текста Хиггса когда-то опубликовал, в качестве public service:

https://www.cs.brandeis.edu/~bukatin/sumtopo2011.pdf (slides 44-48)

Но, вот, я тоже подумал, что в элементарных топосах оно, может быть, лучше будет, и поэтому и взял с полки любимого мной Гольдблатта, с которым у меня есть опыт, что я его могу читать и понимать. (Поскольку я общаюсь с людьми на эту тему, то я поискал, есть ли книжка Гольдблатта online for free, и оказалось, что да.)

С исходной книжкой Джонсона у меня были те же проблемы, что у анонимного ревьюэра, которого Джонстон цитирует в Sketches of Elephant:

https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Johnstone_(mathematician) (add the right ")" to the URL, footnote 5 to the "Books" section).

Запрограммировать, это, наверное, хорошая идея. Категорное программирование сейчас есть на многих языках, даже на моей любимой Джулии:

https://github.com/AlgebraicJulia/Catlab.jl

Так что, можно попробовать разобраться в том, как они это делают, и продолжить в направлении пучков.

************************

А вот, я тут пока искал, нет ли прямо категорных пучков на Джулии, обнаружил, что зато есть вполне некатегорные (надо будет посмотреть про что это; вот что поиск животворящий делает, неожиданно находятся соблазнительные вещи):

https://github.com/hansenjakob/SheafLearning.jl

This is presumably related to roughly speaking these papers about "Sheaf neural networks" and "Knowledge sheaves":

https://arxiv.org/abs/2012.06333

https://arxiv.org/abs/2110.03789

Вот, добавил себе в to-do list разобраться с тем, что эти добрые люди пишут, и хорошо ли оно...

[dmm]

http://jakobhansen.org/

[juan_gandhi]

О как интересно! Сохраню линки.

[dmm]

The "Sheaf neural networks" relies on

"Toward a Spectral Theory of Cellular Sheaves" by the same author leading: https://arxiv.org/abs/1808.01513

and that heavily relies on this PhD thesis: "Sheaves, Cosheaves and Applications", https://arxiv.org/abs/1303.3255

[dmm]

It turns out that "Introduction to higher order categorical logic" by Joachim Lambek and Philip J. Scott might be a better fit, and that one can usually find its PDF on the web...

[dmm]

See also https://www.site.uottawa.ca/~phil/

[dmm]

Collected work by Lawvere:

https://github.com/mattearnshaw/lawvere

( https://en.wikipedia.org/wiki/William_Lawvere )