(Open Access) Topoi: The Categorial Analysis of Logic, by Robert Goldblatt

[dmm]

projecteuclid.org/ebooks/books-by-independent-authors/Topoi-The-Categorial-Analysis-of-Logic/toc/bia/1403013939

Chapter-wise PDFs

Comments

[juan_gandhi]

Маклейн, конечно, да - но он это в начале хорошо объясняет; ну и вообще, т.к. это хрестоматия с детства...

Насчет же пучков, тут дело такое, что, мне кажется, проще всего они воспринимаются в элементарных топосах, и в этом смысле Джонстон, особенно пятая глава - самое то. Ну и плюс если запрограммировать. Я пока программировал, многое из этого дела освоил. Сейчас, как я понимаю, есть версии и на агде.

[dmm]

Моя личная история состоит в том, что я познакомился с "Гейтинго-значными множествами", т.е. с нечёткими равенствами, принимающими значения в алгебрах Гейтинга, когда обнаружилось, что эти нечёткие равенства, это, фактически, "перевёрнутые" partial ultrametrics. Тут стало понятно, что это имеет ко мне прямое отношение, и надо бы разобраться. И я, конечно, знакомился по 100-страничному тексту Скотта и Фурмана "Sheaves and Logic", который не особо категорный, и уж точно не топосный.

А потом я добрался до знаменитого неопубликованного текста Хиггса, который тоже совсем не топосный, хотя в нём есть место, где эта конструкция нечёткого равенства обобщена аж до случая пучков над топологией Гротендика (т.е. до общности топосов Гротендика). Я эти три странички из текста Хиггса когда-то опубликовал, в качестве public service:

https://www.cs.brandeis.edu/~bukatin/sumtopo2011.pdf (slides 44-48)

Но, вот, я тоже подумал, что в элементарных топосах оно, может быть, лучше будет, и поэтому и взял с полки любимого мной Гольдблатта, с которым у меня есть опыт, что я его могу читать и понимать. (Поскольку я общаюсь с людьми на эту тему, то я поискал, есть ли книжка Гольдблатта online for free, и оказалось, что да.)

С исходной книжкой Джонсона у меня были те же проблемы, что у анонимного ревьюэра, которого Джонстон цитирует в Sketches of Elephant:

https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Johnstone_(mathematician) (add the right ")" to the URL, footnote 5 to the "Books" section).

Запрограммировать, это, наверное, хорошая идея. Категорное программирование сейчас есть на многих языках, даже на моей любимой Джулии:

https://github.com/AlgebraicJulia/Catlab.jl

Так что, можно попробовать разобраться в том, как они это делают, и продолжить в направлении пучков.

************************

А вот, я тут пока искал, нет ли прямо категорных пучков на Джулии, обнаружил, что зато есть вполне некатегорные (надо будет посмотреть про что это; вот что поиск животворящий делает, неожиданно находятся соблазнительные вещи):

https://github.com/hansenjakob/SheafLearning.jl

This is presumably related to roughly speaking these papers about "Sheaf neural networks" and "Knowledge sheaves":

https://arxiv.org/abs/2012.06333

https://arxiv.org/abs/2110.03789

Вот, добавил себе в to-do list разобраться с тем, что эти добрые люди пишут, и хорошо ли оно...

[dmm]

http://jakobhansen.org/

[juan_gandhi]

О как интересно! Сохраню линки.

[dmm]

The "Sheaf neural networks" relies on

"Toward a Spectral Theory of Cellular Sheaves" by the same author leading: https://arxiv.org/abs/1808.01513

and that heavily relies on this PhD thesis: "Sheaves, Cosheaves and Applications", https://arxiv.org/abs/1303.3255